Funksiyaning xossalari. Juft-toqligi, monotonligi, nollari, chegaranganligi

Agzamxo'djayeva M.SH Mavzu:Funksiyaning xossalari. Juft-toqligi, monotonlifi, nollari, chegaranganligi. 1. Juft va toq funksiyalar. Agar X to'plamning har qanday x elementi uchun -x∈X bo'lsa, X to'plam O(0; 0) nuqtaga nisbatan simmetrik to'plam deyiladi. Masalan, (-∞; +∞), [-2; 2], (-3; 3), (-8; -2)∪ [2; 8) to'plamlarning har biri O(0; 0) nuqtaga nisbatan simmetrik to'plamdir. (-3; 2) to'plam esa O(0; 0) nuqtaga nisbatan simmetrik bo'lmagan to'plamdir. Aniqlanish sohasi O(0; 0) nuqtaga nisbatan simmetrik bo'lgan to'plamda y = f (x) funksiya uchun ∀x∈B(f) larda f (-x) = f (x) tenglik bajarilsa, f (x) funksiya juft funksiya, f(-x) = -f (x) tenglik bajarilganda esa toq funksiya deyiladi. Masalan, f (x) = 2x2 + 3 - juft funksiya, chunki f (-x) = 2(-x)2 + 3 = 2x2 + 3 = f (x). Shuningdek, y = | x |, y = x4 lar ham juft funksiyalardir. (-x)5 = -x5, demak, y = x5 - toq funksiya. Umuman, x2n, n∈N, funksiyalar juft, x2n-1, n∈N, funksiyalar toq funksiyalardir. Ta'riflarga qaraganda toq funksiya grafigi koordinata boshiga nisbatan, juft funksiya grafigi esa ordinatalar o'qiga nisbatan simmetrik joylashadi. Juft va toq funksiya aniqlanish sohasi koordinata boshiga nisbatan simmetrik joylashadi. Funksiyalarni juft-toqlikka tekshirishda quyidagicha: a) f (x) funksiya D(f ) da, g(x) funksiya D(g) da aniqlangan bo'lsin. Agar umumiy x∈D(f )∩ D(g) aniqlanish sohasida f (x) va g(x) funksiya bir vaqtda juft (yoki toq) bo'lsa, ularning (f + g)(x) yig'indisi ham juft (toq) bo'ladi. Haqiqatan, (f + g)(-x) =f(-x) + g(-x) = f(x) + g (x) = (f + g)(x); (f + g)(-x) = f (-x) + g (-x) =- f(x) - g(x) = -(f + g)(x); b) ikkita juft (toq) funksiya ko'paytmasi juft funksiya, toq va juft funksiyalar ko'paytmasi esa toq funksiya bo'ladi. Haqiqatan, f va g funksiyalar juft bo'lsa, (fg)(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) =(fg)(x). Qolgan hollar ham shu kabi isbotlanadi. Agar shunday M haqiqiy soni mavjud bo'lib, barcha x∈X sonlari uchun f(x) ≥ M (mos ravishda f(x) ≤ M) tengsizlik bajarilsa, f funksiya X to'plamda quyidan chegaralangan (yuqoridan chegaralangan) deyiladi. Agar funksiya X to'plamda ham quyidan, ham yuqoridan chegaralangan bo'lsa, u shu to'plamda chegaralangan deyiladi. 4-misol. y = −x2 funksiyani qaraymiz. Barcha x∈(-∞;+∞) sonlari uchun -x2 ≤ 0 bo'lgani uchun bu funksiya (-∞; +∞) oraliqda yuqoridan chegaralangandir. 5-misol. y = x2 funksiya (-∞; +∞) oraliqda quyidan chegaralangan funksiyadir, chunki barcha x∈(-∞; +∞) sonlari uchun y(x) = x2≥ 0 tengsizlik bajariladi. 6-misol. y = x funksiya (0; 1) oraliqda quyidan 0 ...