Birchiziqli va kvadratik formalar

Bichiziqli va kvadratik formalar Reja: 1. Bichiziqli formalar. 2. Kvadratik formani kvadratlar yig'indisiga keltirish. 3. Haqiqiy kvadratik formalar. Bichiziqli formalar. maydon ustida chiziqli fazo berilgan bo'lsin. ta'rif-1. Agar ikki vektor argumentli skalyar funksiya har bir argumenti bo'yicha chiziqli bo'lsa, yani har qanday va uchun ; har qanday va uchun shartlar bajarilsa, bu funksiyaga bichiziqli forma (funksiya, funksional) deyiladi. Endi , tizim V dagi bazis, bu bazisda x va y vektorlarning koordinatalari mos ravishda va bo'lsin. U holda , bu yerda. Bu skalyarlar bichiziqli formaning berilgan bazisdagi koeffitsiyentlari , esa matritsasi deyiladi. Shunday qilib, berilgan bazisda bichiziqli formalar va kvadrat matritsalar orasida o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatildi. Endi bazis o'zgarganda bichiziqli formaning matritsasi qanday o'zgarishini tekshiramiz. Agar da boshqa bazis olingan bo'lsa, bichiziqli formaning yangi bazisdagi matritsasini orqali belgilab, uning elementlari uchun quyidagi ifodani topamiz: Bu tenglik ekanligini ko'rsatadi, bu yerda -birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o'tish matritsasi. matritsa doim maxsusmas bo'lgani uchun matritsaning rangi maxsusmas matritsaga ko'paytirganda o'zgarmaganligi uchun va matritsalarning rangi teng. Ularning rangi bichiziqli formaning rangi deyiladi. ta'rif-2. Agar har qanday vektorlar uchun tenglik bajarilsa, bu bichiziqli forma simmetrik deyiladi. Lemma-1. Simmetrik bichiziqli formaning matritsasi har qanday bazisda simmetrik. Isbot. . Lemma isbotlandi. Ushbu lemmaning teskarisi ham o'rinli bo'ladi, yani agar bichiziqli formaning biror bazisdagi matritsasi simmetrik bo'lsa ushbu bichiziqli forma ham simmetrik bo'ladi. ta'rif-3. simmetrik bichiziqli forma yordamida hosil bo'ladigan funksiya kvadratik forma deyiladi. Lemma-2. Ixtiyoriy simmetrik bichiziqli forma o'zining kvadratik formasi orqali o'zaro bir qiymatli aniqlanadi. Isbot. , shuning uchun . Lemma isbotlandi. ta'rif-4. Kvadratik formani hosil qiluvchi yagona simmetrik bichiziqli formaning matritsasiga kvadratik formaning matritsasi deyiladi. 2.Kvadratik formani kvadratlar yig'indisiga keltirish. kvadratik formani vektorning koordinatalari orqali ifodalash bazisga bog'lik ekanini biz bilamiz. Bu bo'limda biz kvadratik formani kvadratlar yig'indisiga qanday qilib keltirishni, yani kvadratik formani , sodda ko'rinishga keltiradigan bazisni qanday qilib tanlashni ko'rsatamiz. Kvadratik formaning bazisdagi matritsasining barcha burchakli (1) minorlari noldan farqli bo'lsin. Belgilashga asosan . Bizning maqsadimiz - vektorlarni shunday aniqlashki, bunda . (2) Ularni , (3) ko'rinishda izlaylik. Agar , bo'lsa, bo'ladi. Haqiqatan ham, (3) tengliklarga asosan bo'ladi. Shunday qilib, agar har qanday va uchun tenglik bajarilsa, uchun bo'ladi. Demak, bichiziqli formaning simmetrikligiga asosan oxirgi tenglik lar uchun ham o'rinli. Yani - izlanayotgan bazis. Yuqoridagidan ravshanki bizning maqsadimiz quydagicha: koeffitsietlarni shunday aniqlash kerakki vektor (4) shartlarni qanoatlantirsin. vektor ushbu shartlar bilan o'zgarmas ko'paytuvchigacha aniqlanadi. Bu ko'paytuvchini (5) tenglik yordamida aniqlaymiz. (4) va (5) ga ning ifodasini qo'yib ga nisbatan quyidagi chiziqli tenglamalar ...