Qatorlar, sonli qatorlar va ularning yaqinlashish belgilari

Qatorlar sonli qatorlar va ularning yaqinlashish belgilari Reja: 1. Sonli qatorlar haqida tushunchalar. 2. Qator yig'indisi va uning yaqinlashuvi. 3. Qator yaqinlashishining zaruriy belgisi(sharti). 4. Musbat hadli qatorlar yaqinlashishining etarli belgilari. 5. Ishoralari almashinuvchi qatorlar(Leybnits qatori). Sonli qator, cheksiz yig'indi, umumiy had, garmonik qator, qator yig'indisi, qismiy yig'indi, yaqinlashuvchi qator, uzoqlashuvchi qator, zaruriy belgi, etarli belgi, taqqoslash belgisi, Dalamber belgisi, Koshi belgisi, integral belgi, ishoralari navbat bilan almashinuvchi qatorlar, o'zgaruvchan ishorali qatorlar, Leybnits belgisi, absolyut va shartli yaqinlashish. 1. Sonli qatorlar haqida tushunchalar 1-ta'rif. sonlar ketma-ketligidan tuzilgan. (1) cheksiz yig'indiga sonli qator deyiladi. larga qatorning hadlari, ga esa - hadi yoki umumiy hadi deyiladi. Qatorlarga bir necha misollar keltiramiz: qatorga garmonik qator deyiladi; qator birinchi hadi , maxraji bo'lgan geometrik progressiyani ifodalaydi; 2. Qator yig'indisi va uning yaqinlashuvi. Sonli qator ta'rifidan malumki, uning hadlari cheksiz ko'p bo'lib, yig'indisini oddiy yo'l bilan qo'shib, topib bo'lmaydi. Shuning uchun qatorning yig'indisi tushunchasini kiritamiz. (1) qator hadlaridan qismiy yig'indilar tuzamiz. 2-ta'rif. chekli limit mavjud bo'lsa, ga qator yig'indisi deyiladi va qator yaqinlashuvchi deb ataladi. Chekli limit mavjud bo'lmasa, qatorning yig'indsi bo'lmaydi va u uzoqlashuvchi deyiladi. 1-misol. qator yaqinlashishini tekshiring. yechish. Berilgan qatorning qismiy yig'indisi bo'lib, . Shunday qilib, berilgan sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig'indisi bo'ladi. 3. Qator yaqinlashishining zaruriy belgisi(sharti). Teorema. (2) qator yaqinlashuvchi bo'lsa, shart bajariladi. Isbot. (2) qator yaqinlashuvchi bo'lganligi uchun . Shunday qilib, kelib chiqdi. Natija. Qator umumiy hadining dagi limiti 0 ga teng bo'lmasa, u uzoqlashuvchi bo'ladi. Lekin shartdan qatorning yaqinlashuvchiligi kelib chiqmaydi. Bu shart faqat zaruriy shart bo'lib, etarli emas. 4. Musbat hadli qatorlar yaqinlashishining etarli belgilari 1) Qator yaqinlashishining taqqoslash belgisi. qatorlar uchun tengsizliklar hamma lar uchun bajarilib: (4) qator yaqinlashuvchi bo'lsa, (3) qator ham yaqinlashuvchi bo'lidi va uning yig'indisi (4) qator yig'indisidan katta bo'lmaydi; (3) qator uzoqlashuvchi bo'lsa, (4) qator ham uzoqlashuvchi bo'ladi. 2-misol. qator yaqinlashishini tekshiring. yechish. Berilgan qatorni qator bilan taqqoslayimz. Malumki, keyingi qator maxraji ga teng bo'lgan geometrik progressiya bo'lib, yaqinlashuvchidir. Hamma lar uchun . tengsizliklar bajariladi, demak taqqoslash belgisiga asosan, berilgan qatorning ham yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. 2). Dalamber belgisi. Musbat hadli qator berilgan bo'lsin. limit mavjud bo'lib: bo'lsa, qator yaqinlashuvchi; bo'lsa, qator uzoqlashuvchi; bo'lsa, qator yaqinlashuvchi ham uzoqlashuvchi ham bo'lishi mumkin, bunday hollarda qatorni boshqa belgilardan foydalanib tekshirish kerak bo'ladi. 3-misol. qator yaqinlashishini tekshiring. yechish. Demak, berilgan qator Dalamber belgisiga asosan yaqinlashuvchi. 4-misol. qator yaqinlashishini tekshiring. yechish. . Bu holda Dalamber belgisi savolga javob bermaydi. Berilgan qator uchun qator yaqinlashishining zaruriy ...