Sirtning yopishma paraboloidi

Sirtning yopishma paraboloidi Reja: Sirtning yopishma paraboloidi. Yopishma paraboloid tenglamasi. Sirt nuqtalarini sinflarga ajratish. Sirtning egrilik indikatrisasi. F regulyar sirt va unda yotuvchi R nuqta berilgan bo'lsin. Uchi R nuqtada va o'qi sirtning R nuqtadagi normali bilan ustma-ust tushuvchi U paraboloidni olamiz. Sirt ustida R nuqtaga yaqin bo'lgan biror Q nuqtani olaylik. Q nuqta orqali paraboloid o'qiga parallel qilib o'tkazilgan to'g'ri chiziq paraboloidni Q nuqtada kesib o'tsin. R va Q nuqtalar orasidagi masofani d bilan, Q va Q nuqtalar orasidagi masofani esa h bilan belgilaymiz. Ta'rif. Agar sirt bo'ylab QR da hd2 nisbat 0 ga intilsa, u holda U paraboloidni F sirtning R nuqtasidagi yopishma paraboloidi deyiladi. TEOREMA.Regulyar(2 marta uzluksiz differensiallanuvchi) sirtning xar bir nuqtasida yopishma paraboloid mavjud bo'lib, u yagonadir. Xususan, bu paraboloid parabolik silindrdan yoki tekislikdan iborat bo'lishi mumkin. ISBOT. Aytaylik F sirt r=r(u,v) vektor tenglama bilan berilgan bo'lsin. Koordinata sistemasini quyidagicha kiritamiz: Sirtning R nuqtasidagi urinma tekislikni XOU koordinata tekisligi deb va ushbu nuqtadagi normalni OZ o'qi deb olamiz. U holda [ru,rv] vektor 0Z o'qi bo'ylab yo'nalgani uchun 0 bo'ladi. Shuning uchun R nuqtaning yetarlicha kichik atrofida F sirtni z=f(x,y) ko'rinishdagi tenglama orqali berish mumkin. Ma'lumki, R(0,0,0) nuqtadagi urinma tekislik tenglamasi z=xfx(0,0)+yfy(0,0) (1) ko'rinishda bo'ladi. Ikkinchi tomondan bu tekislik XOU koordinata tekisligi bo'lgani uchun uning tenglamasi z=0 (2) (1) va (2) tenglamalarni taqqoslab fx(0,0)=0, fy(0,0)=0 ekanini topamiz. Shuning uchun f(x,y) funksiyaning koordinata boshi atrofidagi yoyilmasi f(x,y)=(fxx2+2fxyxy+fyy2)+(x,y)(x2+y2) (3) ko'rinishda bo'ladi. Bu yerda x,u0 da (x,u)0. Shunday qilib koordinata boshi atrofida F sirtning tenglamasi z=(fxx2+2fxyxy+fyy2)+(x,y)(x2+y2) (4) ko'rinishda bular ekan. Uchi koordinata boshida va o'qi 0Z o'qi bilan ustma-ust tushuvchi xar qanday paraboloidni, xususan uni parabolik silindr yoki tekislikka buzilishini xam quyidagi z=ax2+2bxy+cy2 (5) tenglama orqali berish mumkin. Endi agar yopishma paraboloid mavjud bo'lsa, uning yagona ekanligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik (5) paraboloid yopishma paraboloid bo'lsin, u holda ta'rifga asosan, (hd2)=(| (fxx2+2fxyxy+fyy2)+(x,y)(x2+y2)|x2+y2+f2(x,y))0 bo'ladi. Oxirgi tenglikda u=0 va x0 deb olib, (hd2)=| (fxx-a)| ni topamiz. Bundan fxx=a ekani kelib chiqadi. Xuddi shuningdek fyy=c ekanini topamiz. Nixoyat x=u0 deb olsak fyy=b ni topamiz. Shunday qilib, agar yopishma paraboloid mavjud bo'lsa, uning tenglamasi r=(fxxx2+2fxyxy+fyy2) ko'rinishda bular ekan. Bundan uning yagonaligi kelib chiqadi. Sirt nuqtalarini sinflarga ajratish. Sirt yopishma paraboloidining turiga qarab sirt nuqtalarini sinflarga ajratish mumkin. Agar sirtning R nuqtadagi yopishma paraboloidni elliptik paraboloiddan iborat bo'lsa, R nuqtani sirtning elliptik nuqtasi, giperbolik paraboloiddan iborat bo'lsa, giperbolik nuqtasi, parabolik silindrdan iborat bo'lsa, parabolik nuqtasi va agar yopishma paraboloid tekislikdan iborat bo'lsa, bu nuqtani sirtning quyuqlashuv ...