Sodda kasrlarga yoyish

Sodda kasrlarga yoyish Reja: 1.Rasional kasr. 2.Sodda kasr. 3.Rasional kasrni soda kasrlarga yoyish. 4.Misollar. To'g'ri kasr f g P(x) soda kasr deyiladi, agarda g = pn , n 1, bunda p(x)- keltirilmaydigan ko'phad va deg f deg p, bo'lsa. Ratsional kasrlar haqida asosiy tеorеma. Tеorеma.Har bir to'g'ri ratsional kasrni sodda kasrlar yigindisi shaklida yagona ko'rinishida yozish mumkin. Isboti.Tеorеma isbotini ikki qismga ajratamiz: yoyilmani mavjudligi va uni yagonaligini isbotlashga. 1.fg P(x) bеrilgan to'g'ri kasr , g ko'phadni unitar ko'phad dеb olsak umumiylikka zid emas.Faraz qilaylik,g = g1g2 yoyilmadagi bu ikki ko'phad uzaro tub va unitar ko'phadlar bo'lsin.Ma'lumki , u holda quyidagi munosabat o'rinli: 1 = u1g1 + u2g2 bunda u1,u2 P[x] biror ko'phadlar. Ushbu tenglikni ikkala tomonini f ga ko'paytirib f = fu1g1+fu2g2 tenglikni hosil qilamiz. Agar fu1 = qg2+v2, deg v2 deg g2, bo'lsa u holda f = v1g2+v2g1 (3) bo'ladi.Bunda, v1 = qg1+fu2 .Shunday qilib, deg v2 deg g2 va teorema shartiga ko'ra deg f deg g . Demak,(3) tenglik deg v1 deg g1 bo'lgandagina bajariladi. Tenglikni ikkala tomonini g1g2 ko'paytmaga bo'lib, f g ratsional kasrni ikkita kasr yigindisiga yoyilmasini topamiz: f g = v1g1+v2g2. O'ng tomondagi ikkita kasr ham to'g'ri kasrdir.Agar gj lardan biri yana o'zaro tub ko'phadlar ko'paytmasidan iborat bo'lsa, u holda yuqorida qilingan ishlarni yana bir marta takrorlash lozim bo'ladi. Natijada kеyingi kasr ham ikkita to'g'ri kasr yigindisiga yoyiladi. Shunday qilib, oqibat natijada quyidagi yigindiga kеlamiz: (4) bunda (ai,pi)=1,deg ai ni deg pi va pini lar esa unitary keltirilmaydigan ko'phad pi larning g ni yoyilmasidagi darajalari: g = p1n1 p2n2pmnm (5) bunda pi pj agarda ij bo'lsa. Endi a pn ko'rinishdagi kasrlarni qaraymiz, bunda deg a ndeg p . Qoldiqli bo'lish algoritmi bizni quyidagi tеngliklar sistеmasiga olib kеladi. a = q1pn-1 +r1, r1 = q2 pn-2+r2, rn-2 = qn-1p+rn-1, rn-1 = qn, bu erda deg qi deg p barcha i = 1,2,,n larda. Demak, a = q1pn-1 +q2pn-2 ++qn-1p + qn, bundan esa . bo'ladi. Shunday qilib deg qi deg p , demak qi pi kasrlar sodda kasrlardir.Teorema isbotini birinchi qismi tugadi. II. , (6) va f g ikkinchi ifodasi esa , bo'lsin. Bunda bkl qkl (6) da uchramagan maxraji qkl ìga teng bo'lgan had bo'lsin.f g ning ikkala ifodasida ham bir xil maxrajli hadlar hosil qilamiz. Buning uchun birida bor bo'lib ikkinchisida bo'lmagan kasrlarga mos kasrlar hosil qilamiz: bunday kasrlarni suratlari qilib nollarni olamiz. So'ngra ...