Ko'p o'zgaruvchili funksiyaga bog'liq funksionallar

Ko'p o'zgaruvchili funksiyaga bog'liq funksionallar. Ostrogradskiy tenglamasi. O'zgaruvchan chegarali masalalar. Bolts masalasi Reja: Ko'p o'zgaruvchili funksiyaga bog'liq funksionallar Ostrogradskiy tenglamasi. O'zgaruvchan chegarali masalalar. Bolts masalasi Ushbu (13) funksionalni ekstremumga tekshiramiz, bu yerda D sohaning C chegarasida funksiyaning qiymatlari berilgan. Yozuvni qisqartirish maqsadida belgilash kiritamiz. funksiyani uch marta, funksiyani esa ikki marta differensionallanuvchi deb faraz qilamiz. Teorema 4. Agar (13) funksional sirt ustida ekstremumga erishsa, u holda funksiya (14) tenglamani qanoatlantiradi. Bu ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama bo'lib, u Ostrogradskiy tenglamasi deyiladi. Misol 8. Ushbu (15) funksionalni ekstremumga tekshiring. D sohaning C chegarasida funksiyaning qiymatlari berilgan: . Bu holda Ostrogradskiy tenglamasi ko'rinishda yoki qisqaroq ko'rinishda bo'ladi, yani bu mashhur Laplas tenglamasidir. Demak, Laplas tenglamasining sohada uzluksiz bo'lgan hamda sohaning chegarasida berilgan qiymatlarni qabul qiladigan yechimini topish kerak. Bu - matematik fizika tenglamalari fani orqali bizga yaxshi tanish bo'lgan Dirixle masalasi-ku, axir! Misol 9. Ushbu funksionalni ekstremumga tekshiring. D sohaning S chegarasida funksiyaning qiymatlari berilgan. Bu holda Ostrogradskiy tenglamasi ko'rinishda yoki qisqaroq ko'rinishda bo'ladi. Bu matematik fizika masalalarini yechishda ko'p qo'llaniladigan Puasson tenglamasidir. Misol 10. Berilgan S kontur yordamida hosil qilinadigan sirtlar ichidan eng kichik yuzaga ega bo'lganini topish masalasi ushbu funksionalni minimumga tekshirishga keltiriladi. Bu holda Ostrogradskiy tenglamasi yoki , yani differensial geometriya fanidan bizga malumki, har bir nuqtadagi o'rtacha egrilik nolga teng. Fizikadan yana shu narsa malumki, S konturga tortilgan sovun ko'piklari eng kichik sirtga ega. Umumiy ko'rinishdagi ushbu funksionalga ekstremum berishi mumkin bo'lgan funksiya ko'rinishidagi umumlashgan Ostrogradskiy tenglamasini qanoatlantirishi lozim, bu yerda . Masalan, funksional uchun Ostrogradskiy tenglamasi ko'rinishda bo'ladi. Ko'p hollarda funksionaldagi integralosti funksiya yuqori tartibli hosilalarga ham bog'liq bo'ladi. Masalan, funksionalga ekstremum berishi mumkin bo'lgan funksiya quyidagi to'rtinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamani qanoatlantirishi lozim: , bu yerda Masalan, funksionalga ekstremum berishi mumkin bo'lgan funksiya quyidagi tenglamani qanoatlantirishi lozim: . Bu tenglama bigarmonik tenglama deyiladi va ilmiy adabiyotlarda qisqa qilib yoki ko'rinishda yoziladi. O'zgaruvchan chegarali masalalar. Bolts masalasi. Variatsion hisobning yuqorida o'rganilgan masalalarida izlanayotgan funksiya (chiziq)ning uchlari kesmaning chetlariga mahkamlab qo'yilgan edi. Biz endi o'rganmoqchi bo'lgan masalalarda esa funksiyaga kesmaning chetlarida qo'yilgan shartlar qatiy emas. Variatsion hisobning o'zgaruvchan chegarali eng sodda masalasi: Shunday funksiyani va nuqtalarni topingki, ular (1) shartlarni qanoatlantirgani holda ushbu (2) funksionalga ekstremum qiymat bersin, bu yerda - berilgan funksiyalar va - barcha argumentlari bo'yicha ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega. Bu masalani quyidagicha bayon qilish ham mumkin: Tekislikda va silliq chiziqlar berilgan bo'lsin. Shunday silliq chiziqni topish kerakki, bu chiziq chiziqning qandaydir ...