Lebeg - stiltes o'lchovi

Lеbеg - stiltеs o'lchоvi Reja: Stiltes o'lchovini keltirib chiqaruvchi funksiya Lеbеg - Stiltеs o'lchоvi Absolyut uzluksiz va diskret o'lchov Tayanch so'zlar: o'lchоvli to'plam, o'lchоvli funksiya, jamlanuvchi funksiyalar, o'zgarishi chegarlangan funksiya, Stiltes o'lchovi, absolyut uzluksiz , diskret o'lchov Stiltes o'lchovini keltirib chiqaruvchi funksiya Yuqorida Lebeg o'chovini qaraganimizda , segmentning Lebeg o'lchovi deb uning uzunligini aytgan edik. Lekin segmentni va uning qism to'plamlarini boshqacha usul bilan ham o'lchash mumkun. Faraz qilaylik, segmentda aniqlangan, chapdan uzluksiz va monoton kamaymaydigan funksiya berilgan bo'lsin. Bu funksiya orqali , segmentning, va yarim intervallarning hamda intervalning o'lchovlarini mos ravishda quyidagicha aniqlaymiz: (1) Endi segment berilgan bo'lib, bu segmentning barcha ko'rinishidagi yarim intervallaridan tashkil topgan segmentni orqali belgilaylik. H sistemaning yarim halqa tashkil etishi ravshan. (1) ga asosan har qanday uchun (2) tenglikka ega bo'lamiz. H sistemada bu tenglik bilan aniqlangan to'plam funksiyasi o'lchovdir. Haqiqatan, har qanday uchun ekanligi (2) tenglikka asosan funksiyaning monoton kamaymaydiganligidan kelib chiqadi. Endi to'plam funksiyasining additiv funksiya ekanligini ko'rsatamiz. Faraz qilaylik, bo'lsin. U holda (2) ga asosan tenglikka ega bo'lamiz. Demak, sistemada (2) tenglik bilan aniqlangan to'plam funksiyasi o'lchov ekan. 1 - ta'rif. Agar funksiya (2) segmentda aniqlangan chapdan uzluksiz va monotom kamaymaydigan funksiya bo'lib, sistema segmentning barcha ko'rinishidagi yarim intervallar sistemasi bo'lsa, u holda sistemada (2) tenglik bilan aniqlangan to'plam funksiyasi funksiya orqali hosil qilingan Stiltes o'lchovi deyiladi. funksiya Stiltes o'lchovini keltirib chiqaruvchi funksiya deyiladi. va funksiyalar bir xil Stiltes o'lchovini keltirib chiqaradi. Umuman, (2) o'lchovni keltirib chiqaradigan funksiyalarning umumiy ko'rinishi dan iborat. Haqiqatdan, , funksiyalar (2) o'lchovni keltirib chiqaradigan ixtiyoriy funksiyalar bo'lsin. segmentdan biror nuqtani tayinlab olib, ixtiyoriy nuqtani olamiz. Agar bo'lsa, u holda, (2) tenglikka asosan yarim interval uchun ( va funksiyalar o'lchovini keltirib chiqaradigan funksiyalar bo'lganligi sababli) bo'lib, bundan tenglikka ega bo'lamiz. Shunga o'xshash agar bo'lsa, yana (2) tenglikdan yarim interval uchun bo'lib, bundan yana (3) tenglikka kelamiz. ixtiyoriy bo'lgani uchun bundan tenglik kelib chiqadi. Demak, har bir uchun o'lchovni keltirib chiqaradigan har qanday va funksiyalar orasida ushbu munosabat o'rinli bo'ladi. 1-teorema: funksiya segmentda kamaymaydigan funksiya bo'lib, (4) o'lchov sistemada aniqlangan Stiltes o'lchovi bo'lsin. (4) o'lchovning o'lchov bo'lishi uchun funksiyaning da chapdan uzliksiz bo'lishi zarur va yetarli. Isbot: Zaruriyligi. (4) o'lchovning additiv o'lchov deb , funksiyaning chapdan uzluksiz ekanini ko'rsatamiz. Faraz qilaylik, funksiyaning ning biror nuqtasida chapdan uzluksiz bo'lmasin, ya'ni nuqtada funksiya uchun munosabat o'rinli bo'lsin, dan shu nuqtaga o'sib intiladigan ketma-ketlikni olamiz: (5) funksiya kamaymaydigan funksiya bo'lganligi sababli limit mavjud va farazimizga asosan munosabat o'rinli. (5) munosabatga asosan ...