Ratsional funksiyani (kasrni) integrallash. Ba'zi bir trigonometrik ifodalarni integrallash

Ratsional funksiyani (kasrni) integrallash Quyidagi ikki ko'phadning nisbati kasr-ratsional funktsiya yoki ratsional kasr deyiladi: (9,1) bunda m, n - musbat butun sonlar, ai bj є R (i =0,, n, j = 0,, m). Agar m n bo'lsa, u holda (9,1) funktsiya to'gri ratsional kasr, m n bo'lsa, noto'gri ratsional kasr deyiladi. Har qanday noto'gri kasrning suratini maxrajiga bo'lish natijasida uni biror ko'phad va to'gri kasr yig'indisi shaklida yozish mumkin: (9,2) Kasirning maxrajini ko'paytuvchilarga ajrati bo'lsa, uni (9,3) ko'rinishdagi sodda (elementar) kasrlarning yig'indisi sifatida ifodalash mumkin, bunda a - lar Pn(x) ning haqiqiy ildizlari va dir. Masalan, noto'gri kasrning suratini maxrajiga ko'phadni ko'phadga bo'lish qoidasi bilan bo'lsak, quyidagiga ega bo'lamiz: Har qanday ko'phad oson integrallanadi va ratsional funktsiyani integrallash to'gri kasrni integrallashga keltiriladi. Shuning uchun ratsional funktsiyalarning m with(genfunc): factor(x^3+1); with(genfunc):factor((x-1)(x^3+1)); Kasrni sodda kasrlarga ajratish: rgfpfrac((x-1)(x^3+1),x); 2-misol. ni sodda ratsional kasrlar yig'indisi ko'rinishiga keltiring. x4+2x3+x2=x2(x2+2x+1)=x2(x+1)2. (3) ga asosan quyidagicha: Noma'lum koeffitsientlarni x ga ma'lum qiymatlar berish yo'li bilan ham topish mumkin bo'lib, ko'p hollarda bu qulaylik tug'diradi. Oxirgi tenglikda: x=0 desak, 1=A10+A21+A30+A40 A2 =1; x=-1 desak, 1=A10+A20+A30+A41 A4 =1; x=1 desak, 1=4A1+4A2+2A3+A4 4A1+2A3 = -4; x=-2 desak, 1=-2A1+A2 -4A3+4A4 -2 A1-4A3 = -4; A1=-2, A2=1, A3=2, A4=1. Demak, berilgan kasirni sodda ratsional kasirlarga ajratilgan ko'rinishi quyidagicha: Kasr maxrajini ko'paytuvchilarga ajratish: with(genfunc):factor(x^4+2*x^3+x^2); with(genfunc):factor(1(2*x^4+3*x^3+x^2)); Kasrni sodda kasrlarga ajratish: rgfpfrac(1(x^4+2*x^3+x^2),x); Shunday qilib, to'g'ri ratsional kasrni integrallash masalasi, (12.3) yoyilmaga ko'ra, integrallanishi jihatidan bir-biridan farq qiladigan quyidagi to'rt xil sodda (elementar) ratsional kasrlarni integrallash masalasiga keltiriladi: ; bu yerda A0,B0,C0, a,p va q lar berilgan sonlar: 2nN, p 2-4q Int(A0(x-a),x)=int(A0(x-a),x); 2) . Int(A0(x-a)^n,x)=int(A0(x-a)^n,x); 3) Int((B0*x+C0)(x^2+p*x+q),x)=int((B0*x+C0)(x^2+p*x+q),x); 4) bu yerda . Oxirgidan ko'rinadiki, agar ko'rinishdagi integrallarni ololsak, masala haldir. Agar bu integralda m=1 desak, bo'ladi. Endi, bo'lgan holni qaraylik. Oxirgi integralni bo'laklab integrallaymiz: Demak, rekkurrent (qaytma) formulani olamiz. Endi, m=2,3,…,n qiymatlarni berish natijasida Jn ni topamiz. Shunday qilib, berilgan ...