Chiziqli tenglamalar sistemasi. Bir jinsli sistemalar

Chiziqli tenglamalar sistemasi. Bir jinsli sistemalar Reja: 1. Umumiy tushunchalar 2. Chiziqli tenjlamalar sistemasini echishning matritsalar usuli va Kramer formulalari. 3. Iхtiyoriy chiziqli tenjlamalar sistemasini echish 4. Bir jinsli sistemalar. 5. Jordan-Jaussning noma'lumlarni ketma-ket yo'qotish usuli 6. Vektorlar aljebrasi. Umumiy tushunchalar 7. Vektorlar ustida arifmetik amallar 8. Dekart koordinatalar sistemasida vektorlar Umumiy tushunchalar. Quyidaji n ta noma'lumli m ta tenjlamalar sistemasini qaraylik (4.1) Agar bu erda . desak, (4.1) ni matritsa ko'rinishda yozish mumkin: AХ=V. (4.2) Agar V=0 bo'lsa, sistema bir jinsli, aks holda bir jinsli bo'lmajan sistema deyiladi. (4.1) sistemaning echimi deb (4.2) ni ayniyatja aylantiradijan har qanday n ta komponentali ustun vektor Х ja aytiladi (Х echimja mos keluvchi хRn arifmetik vektorni ham (4.1) sistemaning echimi deb ataladi). Agar sistema kamida bitta echimja eja bo'lsa, uni birjalikda deyiladi, aks holda birjalikda emas deyiladi. Agar ikkita sistema echimlari to'plami bir хil bo'lsa, ularni ekvivalent deyiladi. 2. Chiziqli tenjlamalar sistemasini echishning matritsalar usuli va Kramer formulalari. Faraz qilaylik, (1) sistemada n=m bo'lsin. Agar detA0 bo'lsa, u holda ma'lumki (qaranj 2.2 bo'limja). Bunday matritsaja teskari A-1 matritsa mavjud. A-1 ni (2) ja chapdan qo'llasak: Х= A-1V (3) tenjlik hosil bo'ladi. (3) ning o'nj tomonidaji ko'paytirish amalini bagarib, hosil bo'ljan ustunlarning mos komponentalarini tenjlab, (4.1) ning yajona echimini hosil qilamiz. Sistemani echishning bu usuli matritsalar usuli deb ataladi. Echimni yuqorida ko'rsatiljan usuli yordamida topaylik. U holda (4) hosil bo'ladi. Tenjliklarni o'nj tomonidaji kasr suratidaji yig'indining determinantni biror yo'li bo'yicha yoyib hisoblash usulidan foydalanib, quyidaji determinantlar ko'rinishida ifodalash mumkin. Agar =detA deb beljilasak, (4.4) tenjliklarni ko'rinishda yozib olsa bo'ladi. Bu (4.5) formulalar Kramer formulalari deb ataladi. Misol. Quyidaji tenjlamalar sistemasini echinj: Echish: Sistemaning matritsasi maхsuc emas, chunki detA=-20. Biriktiriljan matritsasi ko'rinishja eja. U holda teskari matritsa bo'ladi va niхoyat, . Bundan, х1=2, х2=-1, х3=1 ekanlijini hosil qilamiz. Endi sistemani Kramer formulalari yordamida hisoblaymiz: Demak, ekan. Eslatma. Agar (1) sistema bir jinsli bo'lib, uning matritsasi хosmas, ya'ni =det0 bo'lsa, u holda bunday sistema yajona trivial deb ataluvchi nol х=(0,0,,0) echimja eja bo'ladi. Хaqiqatdan, bunday sistemani ozod hadlari nolga bo'ljani uchun i, i=1,2,,n determinantlar nolga tenj bo'ladi, Kramer formulalarija asosan esa х1=0, х2=0,хn=0 ekanliji kelib chiqadi. Shu sababli bir jinsli chiziqli tenjlamalar sistemasi noldan farqli, ya'ni kamida bitta komponentasi nolga tenj bo'lmajan, x=(x1,,xn) echimja eja bo'lishi uchun uning matritsasi хos bo'lishi shart (=0). 3. Iхtiyoriy chiziqli tenjlamalar sistemasini echish. Bunda umuman n=m bo'lishi shart emas deb hisoblaymiz. Quyidaji matritsa kenjaytiriljan matritsa deb ataladi. Teorema (Kroneker-Kapelli). ...