Kompleks o'zgaruvchining ko'rsatkichli, trigonometrik, logarifmik funksiyalari

Kompleks o'zgaruvchining ko'rsatkichli, trigonometrik, logarifmik funksiyalari Reja: 1. ko'rsatkichli funksiya va uning xossalari. 2. Trigonometrik funksiyalar va ularning xossalari. 3. Logarifmik funksiya va uning xossalari. 4. Xulosa. 1. ko'rsatkichli funksiya va uning xossalari. Matematik tahlil fanida e( x-haqiqiy son) funksiya ketma-ketlikning limiti sifatida aniklanadi: Kompleks sohada xam ko'rsatkichli e funksiyani xuddi yuqoridek aniqlash mumkin. Tayin z=x+yi kompleks son uchun ketma-ketlik limitining mavjudligini isbotlaymiz hamda shu limitni hisoblaymiz. Ravshanki, Re(1+ Buni etiborga olsak, arga=n arg(1+)=n arctg Birinchi ifodada xadni tashlab yuborishimiz mumkin,chunki (n) u ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor bo'ladi; cheksiz kichik arctg ni unga ekvivalent bo'lgan bilan almashtirib kuyidagilarni topamiz: Demak, (6.2) Ixtiyoriy z=x+iy kompleks son uchun ez ko'rsatkichli funksiya ushbu w=ez=ex+iy=ex(cosy+isiny) (6.3) munosabat bilan aniklaymiz. Bundan |ez|=ex va Argez ning qiymatlaridan biri u ga teng. x=0 da Eyler formulasi hosil bo'ladi. Endi w=ez funksiyaning xossalarini kuraylik: 1) z haqiqiy bo'lganda ez funksiya ex ning barcha xossalariga ega; 2) bu funksiya butun tekislikda analitik; 3) (ez)'=ez tenglik urinli; 4) ko'rsatkichli funksiyaning asosiy xossasi- qo'shish teoremasi saqlanadi: (6.4) 1)-3) xossalarning to'g'riligi oldingi ma'ruzalardan kelib chikadi. Nixoyat, turtinchi xossani isbotlash uchun z1=x1+iy1 va z2=x2+iy2 larni olib, (6.3) tenglikka, hamda kompleks sonlarni ko'paytirish qoidasiga asosan ushbuni yozishimiz mumkin: )= =e=e Oxirgi xossadan foydalanib, ko'rsatkichli funksiyaning xech qanday chekli nuqtada nolga aylanmasligini ko'rsatish qiyin emas. Xakikatan, (6.4) formulada z1=z, z2=-z deb olsak, eze-z=1 yoki e-z= tenglik hosil bo'ladi. Agarda biror z nuqtada ez nolga aylanadi deb faraz kilsak, -z nuqtada bu funksiya aniklanmagan bular edi ( yani cheksizga aylanib ketadi), bu esa (6.3) ga ziddir, yani farazimizning noto'g'riligi kelib chikadi. 5) Funksiyaning davriy bo'lib, uning asosiy davri sof mavxum son 2 ga teng. Xakikatan, ixtiyoriy k butun son uchun: e=eze=ez (6.5) chunki Eyler formulasiga asosan e=1. yuqoridagilardan foydalanib, kompleks sonning ko'rsatkichli shaklini kuyidagicha yozish mumkin: z=|z|e. 2.Trigonometrik funksiyalar va ularning xossalari. Ixtiyoriy kompleks son z uchun trigonometrik funksiyalarni quyidagi sinz=, cosz= (6.6) tengliklar bilan aniklaymiz. Bundan tgz va ctgz funksiyalar ushbu tgz= formulalar bilan aniklanadi. Bu funksiyalar mos ravishda cosz va sinz nolga aylanmaydigan barcha nuqtalarda analitik funksiyalardir. (6.7) formulalarga asosan, tgz va ctgz ning davriy ekanligi va davri ga tengligini ko'rsatish mumkin. ko'rsatkichli ez funksiyaning davri 2i ga teng bo'lgani uchun sinz va sosz funksiyalar xam davriy bo'lib, ularning davri 2 ga teng ekanligi shu bilan birga sinz - tok, cosz - juft funksiya ekanligi (6.6) formuladan kelib chikadi, yani sin(z+2)=sinz, cos(z+2)=cosz; sin(-z)=-sinz, cos(-z)=cosz. haqiqiy o'zgaruvchi trigonometrik funksiyalari orasidagi munosabatlarni ...