Oddiy differentsial tenglamalarni taqribiy yechish usullari. Eyler va runge - kutta usullari

Oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari. Eyler va runge-kutta usullari Reja: Eyler usuli. Runge-Kutta usuli. Usullarning ishchi algoritmlari. Tayanch iboralar: Noma'lum koeffitsiyentlar, koeffitsiyentlarni topish, eyler usuli, Runge-Kutta usuli, boshlang'ich shart, funksiyaning orttirmasi. EYLER USULI Yuqorida ko'rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo'lib, bu hollarda yechimlar analitik (formula) ko'rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan yechimning aniqlik darajasi haqida fikr yuritish birmuncha murakkab bo'ladi. Masalan, ketma - ket differensiallash usulini qo'llaganda qatorning juda ko'p hadlarini hisoblashga to'g'ri keladi va ko'p hollarda bu qatorning umumiy hadini aniqlab bo'lmaydi. Pikar algoritmini qo'llaganimizda esa, juda ko'p murakab integrallarni hisoblashga to'g'ri keladi va ko'p hollarda integral ostidagi funksiyalar elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni yechishda yechimlarni formula ko'rinishida emas, balki jadval ko'rinishida olish qulay bo'ladi. Differenuial tenglamalarni raqamli usullar bilan echganda yechimlar jadval ko'rinishida olinadi. Amaliy masalalarni yechishda ko'p qo'llaniladigan eyler va Runge - Kutta usullarini ko'rib chiqamiz. Eyler usuli. Quyidagi (1) birinchi tartibli differensial tenglamaning [a,b] kesmada boshlang'ich shart x=x0 bo'lgan hol uchun y=y0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilishi lozim bo'lsin. [a,b] kesmani x0 , x1, x2 ,…, xn nuqtalar bilan n ta teng bo'lakchalarga ajratamiz; bunda (i= 0,1,2,…n), - qadam. (1) tenglamani [a,b] kesmaga tegishli bo'lgan biror [xk, xk+1] kesmada integrallasak, ya'ni, (2) Bu yerda integral ostidagi funksiyani x=xk nuqtada boshlang'ich o'zgarmas qiymatiga teng deb qabul qilinsa, quyidagini hosil qilamiz: U holda (2) dan (3) ya'ni deb belgilasak, (4) Ushbu jarayonni [a,b] ga tegishli bo'lgan har bir kesmacha uchun takrorlab, (1) ning yechimini ifodalovchi jadvalini to'zamiz. eyler usulining geometrik ma'nosi shundayki, bunda (1) ning yechimini ifodalovchi integral egri chiziq siniq (II) chiziqlar bilan almashtiriladi (10 - rasm). 10 - rasm Quyidagi tizim (5) uchun x=x0 da y=y0 , z=z0 (6) boshlang'ich shart berilgan. (5) ning taqribiy yechimlari quyidagi formulalar orqali topiladi: bu yerda Misol. eyler usuli yordamida differensial tenglamaning [0,1] kesmada olingan va u(0)=1 boshlang'ich shartni qanotlantiruvchi u(x) yechimining taqribiy qiymatlarini h=0,2 qadam bilan toping. yechish: Quyidagi hisoblash jadvalini to'zamiz. 1- qator . i=0, 2-qator. i=1 , va xakazo i=2,3,4,5lar uchun hisoblanadi. 2. RUNGE-KUTTA USULI Runge - Kutta usuli ko'p jihatdan Eyler usuliga o'xshash, ammo aniqlik darajasi eyler usuliga nisbatan yuqori bo'lgan usullardan biridir. Runge-Kutta usuli bilan amaliy masalalarni yechish juda qulay. CHunki, bu usul orqali noma'lum funksiyaning xi+1 dagi qiymatini topish uchun uning xi dagi qiymati aniq bo'lishi etarlidir. Runge-Kutta usuli uning aniqlash darajasiga ko'ra bir necha turlarga bo'linadi. Shulardan amaliyotda eng ko'p qo'llaniladigani to'rtinchi daraja aniqlikdagi Runge-Kutta usulidir. Birinchi tartibli y=f(x,y) differensial tenglama uchun ...