O'zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar

O'zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida integrallash R E J A: O'zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi O'zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini yechish usullari O'zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini matritsalar usulida yechish O'zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi. Bunday sistemaning sodda ko'rinishi dan iborat, bunda o'zgarmas sonlar. esa ko'rilayotgan oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyadir. Ma'lumki, bir jinsli bo'lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topish uchun, unga mos bo'lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishga to'g'ri keladi. Shuning uchun xam biz dastavval o'zgarmas koeffisiyentli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini kvadraturasiz topish usulini qaraymiz. Bir jinsli, o'zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo'lsin. (2) Ma'lumki (2) sistemani, unga ekvivalent bo'lgan bitta -tartibli differensial tenglamaga keltirish mumkin. Shuning uchun (2) sistemasining xususiy yechimlarini (3) ko'rinishda izlaymiz. Bunda va lar o'zgarmas sonlardir. Ularni shunday tanlab olamizki (3), (2) sistemani qanoatlantirsin. Buning uchun (2) ga (3) olib borib qo'yamiz. yoki buni ochib yozsak (4). Bu larga nisbatan bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasidir.Bu sistema trivial bo'lmagan yechimga ega bo'lishligi uchun, uning asos determinanti nolga teng bo'lishi zarur. (5). (5) ga (2) sistemaga mos bo'lgan xarakteristik tenglama deyiladi. Uning ildizlariga xarakteristik son deyiladi. (5) ga nisbatan n- darajali algebraik tenglamadir (3), (2) sistemaning xususiy yechimi bo'lishligi uchun (5) xarakteristik tenglamaning ildizi bo'lishi kerak. (4) ning koeffisiyentlaridan ushbu matrisani tuzamiz (6). a) Faraz etaylik xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va bir-biriga teng bo'lmasin. Agar ildizni (5) ga olib borib qo'ysak (7) bo'ladi. Isbot etamizkim qiymatda (5) determinantning xech bo'lmaganda tartibli minorlaridan biri nolga teng bo'lmaydi. Haqiqatan xam xarakteristik tenglamaning oddiy ildizi bo'lgani uchun (8) nolga teng bo'lmaydi. Ikkinchi tomondan (9) Bunda determinantdagi elementining algebraik tuldiruvchisi bo'ladi.Agar qiymatini (9) keltirib qo'ysak (8) ga asosan larning xech bo'lmaganda biri nolga teng bo'lmaydi, ya'ni (9) dagi n-1 tartibli determinantlardan xech bo'lmaganda biri nolga teng bo'lmaydi. Bundan, (6) matrisaning rangi n-1 ga tengligi kelib chiqadi. Ya'ni (4) sistemadagi tenglamalardan biri qolganlarini natijasi ekanligi kelib chiqadi. U holda (4) sistema trivial bo'lmagan yechimlarga ega . Lekin matrisaning rangi n-1 ga teng bo'lgani uchun, bu ildizlar bir-biridan o'zgarmas songa farq qiladi. Bunda lar o'zgarmas sonlardir. Agar teng deb, bu qiymatlarni (3) ga qo'ysak, xarakteristik tenglamaning ildiziga mos bo'lgan (2) sistemaning xususiy yechimlari. (10) ga ega bo'lamiz. Ma'lumki (2) sistemaning xususiy yechimlarini biror o'zgarmas songa ko'paytirsak, hosil bo'lgan ifoda yana berilgan sistemaning yechimi bo'ladi. Shunga ko'ra, ...